Банково дело


Категория на документа: Финанси


Да предположим, че ще инвестираме 500 лв. за пет години при номинална годишна лихва от 8%, а броят на олихвяванията в годината е два пъти. За да можем адекватно да изчислим бъдещата стойност на инвестицията, ще разделим годишния лихвен процент на две и ще умножим броя на годините по две. По този начин периодичният лихвен процент става 8/2 = 4% на шестмесечие, а броят на лихвените периоди става 5 * 2 = 10.
FV = 500(1 + 0,04)¹º = 740,12.
Олихвяването може да се пригоди за всякакъв брой лихвени периоди – шестмесечие, четиримесечие, тримесечие, месец, седмица, ден и т. н. Съществува и една екстремна форма на олихвяване – продължително, или непрекъснато олихвяване. При продължителната форма олихвяването се извършва непрекъснато, вместо да се чака настъпването на края на съответния лихвен период. Факторът за продължителното олихвяване за период от една година е „E“ на степен годишния лихвен процент, където „e“ = 2,71828..., основата на естествения логаритъм . Формулата за сложно продължително олихвяване е следната:
FV = PV.e , където „e“ е на степен броя на лихвените периоди n, умножен по годишната лихва i.
Ако сумата от 100 лв. е депозирана за три години при годишна лихва от единадесет процента, бъдещата стойност на тази сума след три години при продължително олихвяване е:
FV = 100.(2,71828 ) = 100.(2,71828 )  100.1,390968  139,0968 лв.
За сравнение бъдещата стойност на сумата при сложно олихвяване е
FV = 100.(1 + 0,08)³ = 125,9712 лв.
В този пример бъдещата сума при продължително олихвяване е по-голяма от бъдещата сума при конвенционалното сложно олихвяване с 13,1256 лв.
При олихвяването можем да използваме и различни лихвени проценти по периоди. Разликата тук произтича от факта, че основната сума се олихвява по различни лихвени проценти вместо по еднакви. За тази цел формулата за изчисляване на бъдещата стойност ще придобие следния вид:
FV = PV(1 + i1) (1 + i2)(1 + i3)... (1 + in)
Нека приведем един пример. Имаме 300 лв., които инвестираме в срочен влог за три години, при който се изплащат годишни лихви, както следва: 10% през първата година, 12% през втората година и 11% през третата година. Бъдещата стойност на тези пари след три години ще бъде 300.1,1.1,12.1,11 = 410,256. Ако искаме да намерим средната годишна лихва за целия период, ще използваме формулата за лихвата, която разгледахме по-горе:

Средната годишна лихва на сумата от 300 лв., инвестирана за три години с лихвени проценти за 1-та, 2-та и 3-та година съответно 10, 12 и 11%, е 10,997%.
Да разгледаме една задача. След 1 година за дадена сума пари ще се изплаща 13%, а след още 1 година – 14% лихва. Каква е спот лихвата общо за двете години? Първо, ще умножим респективните лихви по следния начин 1,13.1,14 = 1,2882 – това означава, че след 2 години ще имаме 28,82% възвръщаемост. След това, ще коренуваме това произведение и ще открием търсената от нас стойност: = 1,134989, или 13,4989% годишна лихва за двугодишен период. С други думи, тази лихва би дала същата възвръщаемост, както ако 1-вата година имахме 13, а втората година – 14%. В примера, ако имахме олихвяване за три години, за намирането на спот лихвата щяхме да използваме корен трети от произведението на респективните лихви. Ако имахме четири години, щяхме да използваме корен четвърти от произведението на респективните лихви и т. н.
Можем да направим и обратното – ако ни е дадена средната годишна лихва за двете години и знаем колко ще бъде номиналната годишна лихва за първата година, можем да намерим имплицираната лихва за втората година:
1) Взимаме спот лихвата за година и я повдигаме на втора степен:
1,1350.1,1350 = 1,2882.
2) След това разделяме 1,2882/1,13 = 1,14 – т.е. имплицираната лихва за втората година е 14%.
1.1.2. Сегашна стойност на парите
Намирането на сегашната стойност на някаква бъдеща стойност или серия от бъдещи стойности се нарича дисконтиране. При дисконтирането се използват същите принципи, както при олихвяването, но в обратен ред. С други думи дисконтираме някаква бъдеща стойност или серия от стойности по периоди при фиксиран или променлив сконтов процент. Формулата за дисконтиране може да се изведе от формулата за олихвяване. При сложното олихвяване тя е следната:
FV = PV (1 + i) .
Ако разделим и двете страни на уравнението на (1 + i) , получаваме:
PV = .
Частта се нарича дисконтов фактор и се умножава по бъдещата стойност на сумата, за да се получи сегашната ù стойност.
Нека разгледаме един пример. След петнайсет години ще получим сумата от 1 000 000 лв. Искаме да видим каква ще бъде стойността на тази сума в момента, ако дисконтовият процент е 10%, а броят на лихвените периоди е три пъти за година.
PV = 1000 000/ 228 654,79 – сегашната стойност на 1 000 000, платими след 15 години по 10% годишен лихвен процент, начисляван три пъти в годината, е 228 654,79 лв.
Досега намирахме бъдеща стойност, сегашна стойност и лихвен процент на базата на дадени лихвени периоди. Сега ще видим как може да се намери броят на лихвените периоди. Да предположим, че имаме сумата от 200 лв. и искаме да намерим броя на лихвените периоди, при които тази сума ще нарасне на 500 лв. при годишна лихва от 6%, а лихвените периоди в годината са два. Подобни изчисления се извършват чрез логаритмуване на формулата за олихвяване:

.
В нашия пример = 30,9989 или приблизително 31 лихвени периода, т.е. 15 години и 6 месеца. Забележете, че за периодична лихва използвахме 3% – това е нашата лихва за 6 месеца. При изчисляването на лихвените периоди винаги ще закръгляме резултата до следващия цял лихвен период, защото лихвата се изплаща в края на лихвения период. От резултата видяхме, че сумата от 500 лв. ще се е акумулирала за 30,9989 лихвени периода, но лихвата, необходима за достигането на 500 лв., ще се изплати през 31-вия лихвен период. Да проверим верността на нашите изчисления: 500,02
1.1.3. Връзка между лихва и дисконт
Ако имаме инвестиционни инструменти, изчислени на различна база, можем да ги сравняваме, като уеднаквим тяхната база. Например имаме краткосрочна облигация с нулев купон, емитирана от банка при сконтов процент 10%, и краткосрочен депозит при същата банка с годишна лихва от 10%. Кой от двата инструмента ще бъде по-изгоден за нас? За да можем да правим каквито и да било сравнения, трябва да определим тяхната възвръщаемост.
В първия случай (на облигацията) – за всеки 90 лв., които банката получава, тя ни изплаща 100 лв. С други думи, възвръщаемостта на инвестицията ни ще бъде 10/90 = 11,11%. Във втория случай банката приема 100 лв. на влог и изплаща 110 лв. в края на уговорения период. Тук нашата възвръщаемост ще бъде 10/100 = 10%. Виждаме, че при еднакви параметри възвръщаемостта при олихвяването и дисконтирането е различна. При сравняването се цели съпоставянето на дисконтираните и олихвяваните инструменти на еднаква база.
Сконтови и лихвени проценти могат да се сравняват по следния начин:
1. Преобръщане на лихвен процент в сконтов процент:

,
където:
Disc е сконтов процент
Int е лихвен процент
Days/basis е дни/база, или периодът на олихвяване
Тук е необходимо да се спомене, че коефициентът дни/база се състои от действителния брой на дните в разглеждания период, разделен върху базата на съответния инструмент – някои инвестиционни инструменти се изчисляват на база 365 дни в годината, докато други се изчисляват на база 360 дни в годината.
2. Преобръщане на сконтов процент в лихвен процент:

.
Забележете, че при дисконтиране имаме знак „-“, а при олихвяване имаме знак „+“. Както знаем, при дисконтиране имаме изваждане на сума от бъдеща стойност, а при олихвяване имаме добавяне на сума към сегашна стойност.
За да бъде по-ясна концепцията на сравняване на инструменти, изчислени на различна база, ще разгледаме един пример. Трябва да сравним доходността за инвеститора от:
• 90-дневна краткосрочна облигация с нулев купон при сконтова лихва от 7,25%;
• 90-дневен банков депозит при годишна лихва от 7,30%.
Ще приемем, че и двата инструмента се изчисляват на база 360 дни в годината.



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Банково дело 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.